Méthode de l'arctangente

Une approximation de  $\pi$ est donnée par la formule suivante, liée à la trigonométrie :  $\pi =4{\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}({\displaystyle \frac{1}{1}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{4}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{7}}+\cdots +{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{2n+1}})=4{\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{(-1{)}^k}{2k+1}}}}$

Il est aussi possible de définir une suite $(p_n)$ par $p_0=4$ et, pour tout entier naturel non nul $n$ , $p_n=p_{n-1}+{\displaystyle \frac{4\times (-1{)}^n}{2n+1}}$ . On a alors $\pi ={\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{p}_n}$ .

Exercice

Compléter la fonction pi_somme1 qui prend en argument un entier $n$ et qui renvoie la liste des $n$ premiers termes de la suite $(p_n)$ .

def pi_somme1(n):
    Lp = [0] * n
    Lp[0] = ...
    for i in range(1, n):
        Lp[i] = ...
    return Lp

approx = pi_somme1(5)
print(approx)

Calculer alors $p_{10000}$ . Le comparer avec la valeur de $\pi$ . Que peut-on dire de la vitesse de convergence de cette suite ?

Le programme suivant permet de représenter graphiquement les 100 premiers termes de la suite $(p_n)$ .

import matplotlib.pyplot as plt
from math import pi

abscisses = list(range(100))
ordonnees = pi_somme1(100)
plt.plot(abscisses, ordonnees, '.')
plt.plot([0,100],[pi,pi],'--',color='green')
plt.legend(['$p_n$','$\pi$'])
plt.title('100 premiers termes de la suite $(p_n)$')
plt.show()
plt.close()